Теорема. (Правило Крамера)

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

xi = Di/D, где

D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

Di =

Пример.

A = ; D1= ; D2= ; D3= ;

x1 = D1/detA; x2 = D2/detA; x3 = D3/detA;

Пример. Найти решение системы уравнений:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D1 = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x1 = D1/D = 1;

D2 = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x2 = D2/D = 2;

D3 = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x3 = D3/D = 3.

Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.

Если система однородна, т.е. bi = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.

При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.