Главная Лекции Студенту Форум
 

Разделы сайта

Главная
ТММ
Математика
Теория вероятностей
Делопроизводство
Финансы и кредит
Экономика
Студенту
Контакты
Links

Реклама на сайте

 

 

Здесь могла быть ваша реклама...

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru

1. Уравнение линии в пространстве
2. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
3. Параметрическое уравнение прямой
4. Направляющие косинусы
5. Угловой коэффициент
6. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
7. Общие уравнения прямой
8. Угол между плоскостями
9. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
10. Угол между прямыми
11. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
12. Угол между прямой и плоскостью
13. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
14. Поверхности второго порядка
15. Цилиндрические поверхности
16. Поверхности вращения
17. Цилиндрическая и сферическая системы координат
18. Связь цилиндрической и декартовой систем координат
19. Связь сферической и декартовой системы координат
20. Линейное (векторное) пространство
21. Свойства линейных пространств
22. Линейные преобразования
23. Матрицы линейных преобразований
24. Собственные значения и собственные векторы линейных преобразований
25. Характеристическое уравнение
26. Собственное направление
27. Преобразование подобия
28. Квадратичные формы
29. Определитель квадратичной формы
30. Приведение квадратичных форм к каноническому виду

 

 

 

 

Назад

 

Приведение квадратичных форм к каноническому виду

            Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a12x1 + a22x2

где у1 и у2 – координаты вектора  в базисе .

            Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

 

            Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение .

            Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

            Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.

            При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным  и . Тогда:

 

            Тогда .

Выражение  называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

 

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х1, х2) = 27.

 

Коэффициенты: а11 = 27,   а12 = 5,   а22 = 3.

Составим характеристическое уравнение: ;

(27 - l)(3 - l) – 25 = 0

l2 - 30l + 56 = 0

l1 = 2;   l2 = 28;

 

 

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

17x2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.

 

Коэффициенты а11 = 17,   а12 = 6,   а22 = 8.      А =

Составим характеристическое уравнение:

(17 - l)(8 - l) - 36 = 0

136 - 8l - 17l + l2 – 36 = 0

l2 - 25l + 100 = 0

l1 = 5,     l2 = 20.

Итого:  - каноническое уравнение эллипса.

 

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

            Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l1 = 2, l2 = 6.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m1 = 1, получим  n1 =

полагая m2 = 1, получим  n2 =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

 

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

            Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l1 = 1, l2 = 11.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m1 = 1, получим  n1 =

полагая m2 = 1, получим  n2 =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

 

            Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

4ху + 3у2 + 16 = 0

 

Коэффициенты: a11 = 0;    a12 = 2;    a22 = 3.

Характеристическое уравнение:

Корни: l1 = -1,   l2 = 4.

Для l1 = -1                                          Для l2 = 4

                                  

 

m1 = 1;     n1 = -0,5;                                 m2 = 1;    n2 = 2;

 

= (1; -0,5)                                            = (1; 2)

                                                

                             

Получаем:   -каноническое уравнение гиперболы.

 

 

 

 

 

Copyright 2005 Int.

Информация о сайте  |  Контакты